FUNCIONES EXPONENCIALES
DEFINICIÓN:
. Sea b>0 y b ≠ 1 un número real. A una función de la
forma f(x) = bˣ.
. La x puede asumir cualquier valor real por lo que el
dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales. R
= -∞, ∞.
. Como la B>0 y B≠1 los resultados al evaluar las
funciones exponenciales son números positivos por lo tanto el alcance será, A=
0, ∞.
. Si b= 1 la función será f(x) = 1 una función constante,
que no es exponencial.
Ejemplo: F (x) = 3ˣ

Si los valores de x tienden a menos infinito. X= -∞, los
valores de la función tienden a 0.
PROPIEDADES:
1-
Las funciones exponenciales pasan por el punto
(0, 1)
2-
Si b>0 la función es creciente.
3-
Si b<0 la función es decreciente.
4-
El eje de x es una asíntota horizontal.
5-
El dominio es el conjunto de los números reales.
6-
El alcance es el conjunto de números reales
positivos.
- - Las funciones exponenciales son uno a uno.
TRANSFORMACIONES:
Podemos transformar las funciones exponenciales
variando sus números para producir traslaciones, estiramientos o contracciones.
Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones
de forma exponencial.
Ejemplo: F (x) = 3 ͯ + 2
FUNCIONES POLINÓMICAS
⬇
definida por un polinomio
⬇
F(x) = A n X^n + A n-1 X^n-1
… A2 X^2 + A1 X + A 0
Donde a0, a1 ... an-1, an son números reales
que se llaman coeficientes del polinomio y n es el grado del polinomio.
CARACTERÍSTICAS:
- El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).
- Son siempre continuas.
- No tienen asíntotas.
- Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.
- Cortan el eje Y en el punto (0, a0).
- El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno.
- El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.
Ejemplos:
FUNCIONES POLÍNOMICAS DE GRADO 0: "RECTAS HORIZONTALES"
La gráfica de una función polinomial de grado 0 que es de la
forma F (x) = A es una recta horizontal.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO: "RECTAS OBLICUAS"
Y = m x + b
La forma de esta función de grado 1 es la ecuación de la línea
recta, que tiene su grafica como aparece de forma oblicua.
FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO: "PARÁBOLAS"
El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de
la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos.
↓
-Grado 0: Se la conoce como función constante.
-Grado 1: También conocida como función lineal.
-Grado 2: Se la conoce como función cuadrática.
EJERCICIOS DE LA CARPETA.
Aca se ve claramente como la ecuacion F(x)=x^3 - 4, se desplazó hacia arriba y a la izquierda.
Ahora, se desplazó hacia la derecha, tomando valores positivos.
Por último, se desplazó hacia arriba.
FUNCIONES RACIONALES
El dominio de una función racional se lo forman todos los números
reales menos los valores de X, que anulan el denominador.
Ejemplo:
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:
Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones
CONSTRUCCIÓN DE HIPÉRBOLAS
Las hipérbolas F(x)= k/x son las más sencillas de representar.
Sus asítontas son los ejes
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
TRASLACIÓN VERTICAL.
F(x)= k/x + a
El centro de la hipérbola es: (0, a).
Si a>0, f(x) k/x se desplaza hacia arriba a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
Si a<0, f(x) k/x se desplaza hacia abajo a unidades.
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
TRASLACIÓN HORIZONTAL.
F(x)= k/ (x+b)
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
Si b> 0, f(x)= k/x se desplaza a la izquierda b unidades.
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
Si b< 0, f(x)= k/x se desplaza a la derecha b unidades
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
TRASLACIÓN OBLICUA.
F(x)= K/ (x+b) +a
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
El centro de la hipérbola es: (3, 4).
.
EJERCICIOS DE LA CARPETA:
A)
B) Las parábolas del cuadrante III se desplazan para los costados y para abajo tomando valores negativos. Y la del cuadrante I sus ramas van hacia arriba y los costados.
C) 1- Y= 0 X=0
2- Y= 0 X= -4
3- Y= 5 X= -4
FUNCIONES CUADRÁTICAS.
↓
Función polinómica real de variable real, que tiene grado 2.
F(x)=ax^2 + bx + c, a≠0
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
↓
La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.
Esta parábola se abre hacia arriba si a>0, y se dice que es cóncava hacia arriba.
Ejemplo:
COEFICIENTES
↓
- - “a” indica la abertura de la parábola, siendo más angosta
cuando “a” es mayor.
- - La concavidad de la parábola es hacia abajo cuando “a” es
negativo, y hacia arriba cuando “a” es positivo.
- - “c” indica la intersección de la parábola con el eje Y.
EJE DE SIMETRÍA
↓
La curva llamada parábola
que corresponde a la gráfica de una función cuadrática,
es simétrica con
respecto a
una recta que es paralela al eje Y.
X= -b/2a
VERTICE
↓
- Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia abajo el vértice será el punto máximo de la gráfica. Si es cóncava hacia arriba será el punto mínimo.
- El vértice es un par ordenado donde X es el eje de simetría, y se obtiene evaluándola ecuación con el eje de simetría
RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Para
determinar las soluciones de función cuadrática o intersecciones de la parábola
con el eje X, se usa la fórmula:
EJERCICIOS DE LA CARPETA:
A medida que cambiaban las ecuaciones, las parábolas se desplazaban, hacia arriba, abajo o para los costados.
TRIGONOMETRÍA.
↓
Relación entre los lados y ángulos de un triángulo
ÁNGULOS
Es la unión de dos semirrectas con el mismo origen.
En trigonometria es importante tener en cuenta el lado del ángulo que se nombra primero.
ÁNGULOS EN EL PLANO CARTESIANO
Un ángulo se encuentra en posición canónica o normal cuando en el plano cartesiano, el vértice coincide con el origen y el lado inicial coincide con el semieje horizontal positivo X.

ángulo es positivo cuando se genera a partir de una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj

Un ángulo es negativo cuando se genera a partir de una rotación que tiene el mismo sentido a las agujas del reloj

MEDICIÓN DE ÁNGULOS
Se miden en grados y en radianes.
El grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radian es la unidad de medida en el sistema cíclico.
MEDIDA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL
- El ángulo generado por la rotación del ángulo en una vuelta, mide 360°
- El grado sexagesimal (1°) se define como
1/360 de una vuelta.
- Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos (1° = 60')
- Un minuto equivale a 60 segundos (1' = 60'')
MEDIDA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA CÍCLICO
Sobre una circunferencia, un ángulo central β determina un arco de AB.
La medida del ángulo β es un radian, si la longitud del arco que le corresponde es igual al radio de la circunferencia.
EQUIVALENCIA ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y EL CÍCLICO.
Dado que la longitud de una circunferencia de radio r es 2𝜋 r, entonces la cantidad de arcos con longitud igual al radio en cualquier circunferencia es 2𝜋.
EJERCICIOS DE LA CARPETA:
1) a1= 300° = Cuadrante IV
a2 = -200° = Cuadrante III
a3 = 760° = Cuadrante I
a4 = 160° = Cuadrante II