miércoles, 29 de noviembre de 2017

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD
Mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso.

Establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles. 

Ejemplo: 


1/ 6^5 =  1/7776


Cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento recibe el nombre de suceso elemental. Se llama espacio muestral el conjunto de todos los sucesos elementales obtenidos, de forma que todo subconjunto del espacio muestral es un suceso.

los tipos de sucesos que pueden ocurrir, pueden ser: sucesos naturales, son aquellos cuyo resultado podemos predecir; y sucesos por azar, cuyo resultado no podemos predecir, pero que si se conoce los resultados posibles que se pueden dar.

Los sucesos por azar se pueden clasificar en: suceso seguro, es aquel que es cierto, que ocurrirá sin lugar a dudas. Por ejemplo, si lanzamos un dado, es seguro que saldrá un número del 1 al 6. En suceso posible, es todo lo que compone un fenómeno determinado. Por ejemplo, al lanzar una moneda, los sucesos posibles son cara o sello.

Suceso imposible, el que no pueden ocurrir y se contraponen a un suceso seguro. Por ejemplo, que en una partida de domino dos jugadores tengan la misma ficha, sería imposible porque son 28 fichas diferentes. La probabilidad es 0 cuando el suceso es imposible y 1 cuando el suceso es seguro.

Otros ejemplos: 



5- 10/40      9/39       8/38

6- 40% + 35% = 75%

100% - 75% = 25%

a- El 25% de los alumnos llega en auto

b- 35% + 25% = 60%

El 60% de que lleguen en auto o en ómnibus. 

martes, 28 de noviembre de 2017

FUNCIONES

                                                 FUNCIONES EXPONENCIALES

DEFINICIÓN:
. Sea b>0 y b ≠ 1 un número real. A una función de la forma f(x) = bˣ.

. La x puede asumir cualquier valor real por lo que el dominio de las funciones exponenciales es el conjunto de los números reales. R = -∞, ∞.

. Como la B>0 y B≠1 los resultados al evaluar las funciones exponenciales son números positivos por lo tanto el alcance será, A= 0, ∞.


. Si b= 1 la función será f(x) = 1 una función constante, que no es exponencial.

Ejemplo: F (x) = 3ˣ 




















Si los valores de x tienden a menos infinito. X= -∞, los valores de la función tienden a 0.










PROPIEDADES:
1-      Las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1)
2-      Si b>0 la función es creciente.
3-      Si b<0 la función es decreciente.
4-      El eje de x es una asíntota horizontal.
5-      El dominio es el conjunto de los números reales.
6-      El alcance es el conjunto de números reales positivos.
-    -    Las funciones exponenciales son uno a uno.


TRANSFORMACIONES:
Podemos transformar las funciones exponenciales variando sus números para producir traslaciones, estiramientos o contracciones. Las funciones que resultan de estas transformaciones se conocen como funciones de forma exponencial. 

Ejemplo: F (x) = 3 ͯ­ + 2

























FUNCIONES POLINÓMICAS
                                            definida por un polinomio
                              F(x) = A n X^n + A n-1 X^n-1  …  A2 X^2  + A1 X + A 0

                          Donde   a0, a1 ... an-1, an   son números reales

 que se llaman coeficientes del polinomio y   n   es el grado del polinomio.


CARACTERÍSTICAS

- El dominio de definición es el conjunto de los números reales (R).

Son siempre continuas.

- No tienen asíntotas.

- Cortan al eje X, como máximo, un número de veces igual que el grado del polinomio.

- Cortan el eje Y en el punto (0, a0).

El número de máximos y mínimos relativos es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos uno.

- El número de puntos de inflexión es, a lo sumo, igual al grado del polinomio menos dos.


Ejemplos:

FUNCIONES POLÍNOMICAS DE GRADO 0: "RECTAS HORIZONTALES" 

La gráfica de una función polinomial de grado 0 que es de la forma F (x) = A es una recta horizontal.




FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO: "RECTAS OBLICUAS"

Y = m x + b

La forma de esta función de grado 1 es la ecuación de la línea recta, que tiene su grafica como aparece de forma oblicua. 



FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO: "PARÁBOLAS"



El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos. 
-Grado 0: Se la conoce como función constante.
-Grado 1: También conocida como función lineal.
-Grado 2: Se la conoce como función cuadrática.

EJERCICIOS DE LA CARPETA.



Aca se ve claramente como la ecuacion F(x)=x^3 - 4, se desplazó hacia arriba y a la izquierda.


Ahora, se desplazó hacia la derecha, tomando valores positivos.


Por último, se desplazó hacia arriba.




FUNCIONES RACIONALES

El dominio de una función racional se lo forman todos los números reales menos los valores de X, que anulan el denominador.

Ejemplo
Un tipo de función racional es la función de proporcionalidad inversa de ecuación:



Sus gráficas son hipérbolas. También son hipérbolas las gráficas de las funciones 


CONSTRUCCIÓN DE HIPÉRBOLAS

Las hipérbolas F(x)= k/x   son las más sencillas de representar.

Sus asítontas son los ejes

El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen.


A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.

TRASLACIÓN VERTICAL.

F(x)= k/x + a

El centro de la hipérbola es: (0, a).

Si a>0,   f(x) k/x se desplaza hacia arriba a unidades.


El centro de la hipérbola es: (0, 3)


Si a<0,   f(x) k/x se desplaza hacia abajo a unidades.

El centro de la hipérbola es: (0, -3)

TRASLACIÓN HORIZONTAL.

F(x)= k/ (x+b)

El centro de la hipérbola es: (-b, 0).

Si b> 0,  f(x)= k/x se desplaza a la izquierda b unidades.


El centro de la hipérbola es: (-3, 0)




Si b< 0,  f(x)= k/x se desplaza a la derecha b unidades

El centro de la hipérbola es: (3, 0)


TRASLACIÓN OBLICUA.

F(x)= K/ (x+b) +a

El centro de la hipérbola es: (-b, a)

El centro de la hipérbola es: (3, 4).
.
EJERCICIOS DE LA CARPETA:




A)  



 B) Las parábolas del cuadrante III se desplazan para los costados y para abajo tomando valores negativos. Y la del cuadrante I sus ramas van hacia arriba y los costados.

C) 1- Y= 0    X=0

2- Y= 0   X= -4

3- Y= 5  X= -4



FUNCIONES CUADRÁTICAS.
Función polinómica real de variable real, que tiene grado 2. 

F(x)=ax^2 + bx + c,  a≠0

El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.

Esta parábola se abre hacia arriba si a>0, y se dice que es cóncava hacia arriba.

Ejemplo:

F(x)= 2x^2 + 3x - 1 


COEFICIENTES
-          - “a” indica la abertura de la parábola, siendo más angosta cuando “a” es mayor.

-          - La concavidad de la parábola es hacia abajo cuando “a” es negativo, y hacia arriba cuando “a” es positivo.

-          - “c” indica la intersección de la parábola con el eje Y.



EJE DE SIMETRÍA
 La curva llamada parábola que corresponde a la gráfica de una función cuadrática, 
es simétrica con respecto a 

una recta que es paralela al eje Y.  

X= -b/2a


VERTICE
↓   
     - Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia abajo el vértice será el punto máximo de la gráfica. Si es cóncava hacia arriba será el punto mínimo.

     - El vértice es un par ordenado donde X es el eje de simetría, y se obtiene evaluándola ecuación con el eje de simetría


RAÍCES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

    Para determinar las soluciones de función cuadrática o intersecciones de la parábola con el eje X, se usa la fórmula:
      
       X= -b ±  √∆/ 2a


EJERCICIOS DE LA CARPETA:





A medida que cambiaban las ecuaciones, las parábolas se desplazaban, hacia arriba, abajo o para los costados.




TRIGONOMETRÍA.
Relación entre los lados y ángulos de un triángulo 


ÁNGULOS

Es la unión de dos semirrectas con el mismo origen.
En trigonometria es importante tener en cuenta el lado del ángulo que se nombra primero. 

ÁNGULOS EN EL PLANO CARTESIANO

Un ángulo se encuentra en posición canónica o normal cuando en el plano cartesiano, el vértice coincide con el origen y el lado inicial coincide con el semieje horizontal positivo X.

ángulo es positivo cuando se genera a partir de una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj 
Un ángulo es negativo cuando se genera a partir de una rotación que tiene el mismo sentido a las agujas del reloj 
 MEDICIÓN DE ÁNGULOS

Se miden en grados y en radianes. 
El grado es la unidad de medida de los ángulos en el sistema sexagesimal y el radian es la unidad de medida en el sistema cíclico.



MEDIDA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA SEXAGESIMAL 

- El ángulo generado por la rotación del ángulo en una vuelta, mide 360°

- El grado sexagesimal  (1°) se define como 
1/360 de una vuelta. 

- Un grado sexagesimal equivale a 60 minutos  (1° = 60')

- Un minuto equivale a 60 segundos (1' = 60'')

MEDIDA DE ÁNGULOS EN EL SISTEMA CÍCLICO

Sobre una circunferencia, un ángulo central β determina un arco de AB.

La medida del ángulo β es un radian, si la longitud del arco que le corresponde es igual al radio de la circunferencia.



EQUIVALENCIA ENTRE EL SISTEMA SEXAGESIMAL Y EL CÍCLICO.

Dado que la longitud de una circunferencia de radio r es 2𝜋 r, entonces la cantidad de arcos con longitud igual al radio en cualquier circunferencia es 2𝜋. 




EJERCICIOS DE LA CARPETA:


1) a1= 300° = Cuadrante IV

a2 = -200° = Cuadrante III

a3 = 760° = Cuadrante I

a4 = 160° = Cuadrante II